Selesaikan {l}{y=-4x-3}{y=-2x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-2$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+4x=-3$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4x-3$$

Gantikan -4x-3 dengan y dalam persamaan lain, y+2x=1.

$$-4x-3+2x=1$$

Tambahkan -4x pada 2x.

$$-2x-3=1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam y=-4x-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-4\left(-2\right)-3$$

Darabkan -4 kali -2.

$$y=8-3$$

Tambahkan -3 pada 8.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\\\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=5,x=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Tolak y+2x=1 daripada y+4x=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+4x-2x=-3-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4x-2x=-3-1$$

Tambahkan 4x pada -2x.

$$2x=-3-1$$

Tambahkan -3 pada -1.

$$2x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam y+2x=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+2\left(-2\right)=1$$

Darabkan 2 kali -2.

$$y-4=1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=-2$$