Selesaikan {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+2x=1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2x+1$$

Gantikan -2x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-4x=-5.

$$-2x+1-4x=-5$$

Tambahkan -2x pada -4x.

$$-6x+1=-5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=-2x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2+1$$

Tambahkan 1 pada -2.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-1,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Tolak y-4x=-5 daripada y+2x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+4x=1+5$$

Tambahkan 2x pada 4x.

$$6x=1+5$$

Tambahkan 1 pada 5.

$$6x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y-4x=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-4=-5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-1,x=1$$