Selesaikan {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Kurangkan pecahan \frac{4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Gantikan -\frac{2x}{3}-5 dengan y dalam persamaan lain, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Darabkan 5 kali -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Tambahkan -\frac{10x}{3} pada 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{14}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Gantikan -\frac{30}{7} dengan x dalam y=-\frac{2}{3}x-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan -\frac{30}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Tambahkan -5 pada \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Kurangkan pecahan \frac{4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Kurangkan pecahan \frac{4}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Untuk menjadikan y dan 5y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Permudahkan.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Tolak 5y+8x=-45 daripada 5y+\frac{10}{3}x=-25 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Tambahkan \frac{10x}{3} pada -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Tambahkan -25 pada 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{14}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Gantikan -\frac{30}{7} dengan x dalam 5y+8x=-45. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Darabkan 8 kali -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Tambahkan \frac{240}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$