Selesaikan {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{3}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Tolak \frac{3x}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{-3x+3}{4} dengan y dalam persamaan lain, y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Tambahkan -\frac{3x}{4} pada -\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Gantikan -\frac{7}{5} dengan x dalam y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan -\frac{7}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada \frac{21}{20} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{3}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{3}{4}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{4}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Tolak y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} daripada y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Tambahkan \frac{3x}{4} pada \frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada -\frac{11}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{25}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Gantikan -\frac{7}{5} dengan x dalam y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{7}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

Tolak \frac{28}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$