Selesaikan {l}{y=5/2x+1}{y=5x+17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x + 1 } \\ { y = 5 x + 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{32}{5} = -6\frac{2}{5} = -6.4$$

$$y=-15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{5}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Tambahkan \frac{5x}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{5}{2}x+1$$

Gantikan \frac{5x}{2}+1 dengan y dalam persamaan lain, y-5x=17.

$$\frac{5}{2}x+1-5x=17$$

Tambahkan \frac{5x}{2} pada -5x.

$$-\frac{5}{2}x+1=17$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{32}{5}$$

Gantikan -\frac{32}{5} dengan x dalam y=\frac{5}{2}x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{32}{5}\right)+1$$

Darabkan \frac{5}{2} dengan -\frac{32}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-16+1$$

Tambahkan 1 pada -16.

$$y=-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{5}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-17\\\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-\frac{32}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{5}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

Tolak y-5x=17 daripada y-\frac{5}{2}x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

Tambahkan -\frac{5x}{2} pada 5x.

$$\frac{5}{2}x=1-17$$

Tambahkan 1 pada -17.

$$\frac{5}{2}x=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{32}{5}$$

Gantikan -\frac{32}{5} dengan x dalam y-5x=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-5\left(-\frac{32}{5}\right)=17$$

Darabkan -5 kali -\frac{32}{5}.

$$y+32=17$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$