Selesaikan {l}{y=3/2x+5/2}{y=-2/3x+14/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 14 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{3x}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{3x+5}{2} dengan y dalam persamaan lain, y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Tambahkan \frac{3x}{2} pada \frac{2x}{3}.

$$\frac{13}{6}x+\frac{5}{2}=\frac{14}{3}$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{6}x=\frac{13}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{3+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{9}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{6}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{9}{13}\times \frac{14}{3}\\-\frac{6}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{6}{13}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=4,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{2}{3}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

Tolak y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3} daripada y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Tambahkan -\frac{3x}{2} pada -\frac{2x}{3}.

$$-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{14}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{13}{6}x=-\frac{13}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=1$$