Selesaikan {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pecahan \frac{-4}{5} boleh ditulis semula sebagai -\frac{4}{5} dengan mengekstrak tanda negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Gantikan -\frac{4x}{5}-9 dengan y dalam persamaan lain, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Darabkan 3 kali -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Tambahkan -\frac{12x}{5} pada 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{28}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Gantikan -\frac{45}{14} dengan x dalam y=-\frac{4}{5}x-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Darabkan -\frac{4}{5} dengan -\frac{45}{14} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Tambahkan -9 pada \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pecahan \frac{-4}{5} boleh ditulis semula sebagai -\frac{4}{5} dengan mengekstrak tanda negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Tambahkan \frac{4}{5}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{8x}{3} pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3y+8x=-45$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pecahan \frac{-4}{5} boleh ditulis semula sebagai -\frac{4}{5} dengan mengekstrak tanda negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Tambahkan \frac{4}{5}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{8x}{3} pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3y+8x=-45$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Untuk menjadikan y dan 3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Permudahkan.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Tolak 3y+8x=-45 daripada 3y+\frac{12}{5}x=-27 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Tambahkan \frac{12x}{5} pada -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Tambahkan -27 pada 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{28}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Gantikan -\frac{45}{14} dengan x dalam 3y+8x=-45. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Darabkan 8 kali -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Tambahkan \frac{180}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$