Selesaikan {l}{y+25=3x}{x+75=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y + 25 = 3 x } \\ { x + 75 = 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{75}{4} = 18\frac{3}{4} = 18.75$$

$$y = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4} = 31.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y+25-3x=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y-3x=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+75-3y=0$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-75$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=-25$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x-25$$

Gantikan 3x-25 dengan y dalam persamaan lain, -3y+x=-75.

$$-3\left(3x-25\right)+x=-75$$

Darabkan -3 kali 3x-25.

$$-9x+75+x=-75$$

Tambahkan -9x pada x.

$$-8x+75=-75$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=\frac{75}{4}$$

Gantikan \frac{75}{4} dengan x dalam y=3x-25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\times \frac{75}{4}-25$$

Darabkan 3 kali \frac{75}{4}.

$$y=\frac{225}{4}-25$$

Tambahkan -25 pada \frac{225}{4}.

$$y=\frac{125}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y+25-3x=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y-3x=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+75-3y=0$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-75$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{3}{8}\left(-75\right)\\-\frac{3}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-75\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{4}\\\frac{75}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y+25-3x=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y-3x=-25$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+75-3y=0$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-75$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

Untuk menjadikan y dan -3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-25\right),-3y+x=-75$$

Permudahkan.

$$-3y+9x=75,-3y+x=-75$$

Tolak -3y+x=-75 daripada -3y+9x=75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3y+3y+9x-x=75+75$$

Tambahkan -3y pada 3y. Seubtan -3y dan 3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9x-x=75+75$$

Tambahkan 9x pada -x.

$$8x=75+75$$

Tambahkan 75 pada 75.

$$8x=150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{75}{4}$$

Gantikan \frac{75}{4} dengan x dalam -3y+x=-75. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-3y+\frac{75}{4}=-75$$

Tolak \frac{75}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-\frac{375}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{125}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$