Selesaikan {l}{x-y=3}{3x+y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=3,3x+y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+3$$

Gantikan y+3 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=8.

$$3\left(y+3\right)+y=8$$

Darabkan 3 kali y+3.

$$3y+9+y=8$$

Tambahkan 3y pada y.

$$4y+9=8$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Gantikan -\frac{1}{4} dengan y dalam x=y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{11}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=3,3x+y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=3,3x+y=8$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x+y=8$$

Permudahkan.

$$3x-3y=9,3x+y=8$$

Tolak 3x+y=8 daripada 3x-3y=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-3y-y=9-8$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-y=9-8$$

Tambahkan -3y pada -y.

$$-4y=9-8$$

Tambahkan 9 pada -8.

$$-4y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Gantikan -\frac{1}{4} dengan y dalam 3x+y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\frac{1}{4}=8$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{33}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{11}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$