Selesaikan {l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=2a$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+2a$$

Gantikan y+2a dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=5-a.

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

Darabkan 2 kali y+2a.

$$2y+4a+3y=5-a$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y+4a=5-a$$

Tolak 4a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=5-5a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=1-a$$

Gantikan 1-a dengan y dalam x=y+2a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=1-a+2a$$

Tambahkan 2a pada 1-a.

$$x=a+1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=a+1,y=1-a$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=a+1,y=1-a$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

Permudahkan.

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

Tolak 2x+3y=5-a daripada 2x-2y=4a dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-3y=4a+a-5$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y=4a+a-5$$

Tambahkan 4a pada -5+a.

$$-5y=5a-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=1-a$$

Gantikan 1-a dengan y dalam 2x+3y=5-a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

Darabkan 3 kali 1-a.

$$2x+3-3a=5-a$$

Tolak 3-3a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2a+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=a+1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=a+1,y=1-a$$