Selesaikan {l}{x-y=2}{2x-3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+2$$

Gantikan y+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=2.

$$2\left(y+2\right)-3y=2$$

Darabkan 2 kali y+2.

$$2y+4-3y=2$$

Tambahkan 2y pada -3y.

$$-y+4=2$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2+2$$

Tambahkan 2 pada 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-2\\2\times 2-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=2,2x-3y=2$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=2$$

Permudahkan.

$$2x-2y=4,2x-3y=2$$

Tolak 2x-3y=2 daripada 2x-2y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y+3y=4-2$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+3y=4-2$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y=4-2$$

Tambahkan 4 pada -2.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-3y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\times 2=2$$

Darabkan -3 kali 2.

$$2x-6=2$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$