Selesaikan {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=50$$

$$y=40$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=10$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+10$$

Gantikan y+10 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2.5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2.5y=200$$

Darabkan 2 kali y+10.

$$2y+20+2.5y=200$$

Tambahkan 2y pada \frac{5y}{2}.

$$4.5y+20=200$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4.5y=180$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 4.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=40$$

Gantikan 40 dengan y dalam x=y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=40+10$$

Tambahkan 10 pada 40.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=40$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{2.5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2.5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2.5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2.5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=50,y=40$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2.5y=200$$

Permudahkan.

$$2x-2y=20,2x+2.5y=200$$

Tolak 2x+2.5y=200 daripada 2x-2y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y-2.5y=20-200$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-2.5y=20-200$$

Tambahkan -2y pada -\frac{5y}{2}.

$$-4.5y=20-200$$

Tambahkan 20 pada -200.

$$-4.5y=-180$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -4.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=40$$

Gantikan 40 dengan y dalam 2x+2.5y=200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2.5\times 40=200$$

Darabkan 2.5 kali 40.

$$2x+100=200$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=40$$