Selesaikan {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=10$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+10$$

Gantikan y+10 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Darabkan 2 kali y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Tambahkan 2y pada 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Tambahkan 20 pada \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Tolak \frac{41}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Gantikan \frac{359}{8} dengan y dalam x=y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Tambahkan 10 pada \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Permudahkan.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Tolak 2x+2y+\frac{1}{2}=200 daripada 2x-2y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Tambahkan -2y pada -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Tambahkan 20 pada -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Gantikan \frac{359}{8} dengan y dalam 2x+2y+\frac{1}{2}=200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Darabkan 2 kali \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Tambahkan \frac{359}{4} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Tolak \frac{361}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$