Selesaikan {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-7y=6$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7y+6$$

Gantikan 7y+6 dengan x dalam persamaan lain, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Darabkan 5 kali 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Tambahkan 35y pada 3y.

$$38y+30=2$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$38y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Gantikan -\frac{14}{19} dengan y dalam x=7y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Darabkan 7 kali -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Untuk menjadikan x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Permudahkan.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Tolak 5x+3y=2 daripada 5x-35y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35y-3y=30-2$$

Tambahkan -35y pada -3y.

$$-38y=30-2$$

Tambahkan 30 pada -2.

$$-38y=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Gantikan -\frac{14}{19} dengan y dalam 5x+3y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Darabkan 3 kali -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Tambahkan \frac{42}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{16}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$