Selesaikan {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-4y=5$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4y+5$$

Gantikan 4y+5 dengan x dalam persamaan lain, -2x-y=-4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

Darabkan -2 kali 4y+5.

$$-8y-10-y=-4$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y-10=-4$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{2}{3} dengan y dalam x=4y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

Darabkan 4 kali -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Permudahkan.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

Tolak -2x-y=-4 daripada -2x+8y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+y=-10+4$$

Tambahkan 8y pada y.

$$9y=-10+4$$

Tambahkan -10 pada 4.

$$9y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{2}{3} dengan y dalam -2x-y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{7}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$