Selesaikan {l}{x-4y=1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{65}{9} = 7\frac{2}{9} \approx 7.222222222$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-4y=1$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4y+1$$

Gantikan 4y+1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=16.

$$2\left(4y+1\right)+y=16$$

Darabkan 2 kali 4y+1.

$$8y+2+y=16$$

Tambahkan 8y pada y.

$$9y+2=16$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=\frac{14}{9}$$

Gantikan \frac{14}{9} dengan y dalam x=4y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\times \frac{14}{9}+1$$

Darabkan 4 kali \frac{14}{9}.

$$x=\frac{56}{9}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{56}{9}.

$$x=\frac{65}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2,2x+y=16$$

Permudahkan.

$$2x-8y=2,2x+y=16$$

Tolak 2x+y=16 daripada 2x-8y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-8y-y=2-16$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-y=2-16$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y=2-16$$

Tambahkan 2 pada -16.

$$-9y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=\frac{14}{9}$$

Gantikan \frac{14}{9} dengan y dalam 2x+y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+\frac{14}{9}=16$$

Tolak \frac{14}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{130}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{65}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$