Selesaikan {l}{x-4y=-1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = - 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-4y=-1$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4y-1$$

Gantikan 4y-1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=16.

$$2\left(4y-1\right)+y=16$$

Darabkan 2 kali 4y-1.

$$8y-2+y=16$$

Tambahkan 8y pada y.

$$9y-2=16$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=4y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4\times 2-1$$

Darabkan 4 kali 2.

$$x=8-1$$

Tambahkan -1 pada 8.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-1\right)+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}\left(-1\right)+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right),2x+y=16$$

Permudahkan.

$$2x-8y=-2,2x+y=16$$

Tolak 2x+y=16 daripada 2x-8y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-8y-y=-2-16$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-y=-2-16$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y=-2-16$$

Tambahkan -2 pada -16.

$$-9y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x+y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2=16$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=2$$