Selesaikan {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=4$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+4$$

Gantikan 3y+4 dengan x dalam persamaan lain, 5x+3y=-1.

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

Darabkan 5 kali 3y+4.

$$15y+20+3y=-1$$

Tambahkan 15y pada 3y.

$$18y+20=-1$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$18y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Gantikan -\frac{7}{6} dengan y dalam x=3y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

Darabkan 3 kali -\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Tambahkan 4 pada -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Untuk menjadikan x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

Permudahkan.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

Tolak 5x+3y=-1 daripada 5x-15y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-3y=20+1$$

Tambahkan -15y pada -3y.

$$-18y=20+1$$

Tambahkan 20 pada 1.

$$-18y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Gantikan -\frac{7}{6} dengan y dalam 5x+3y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

Darabkan 3 kali -\frac{7}{6}.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$