Selesaikan {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$x-4y=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+3$$

Gantikan y+3 dengan x dalam persamaan lain, x-4y=4.

$$y+3-4y=4$$

Tambahkan y pada -4y.

$$-3y+3=4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam x=y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$x-4y=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$x-4y=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Tolak x-4y=4 daripada x-y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-y+4y=3-4$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+4y=3-4$$

Tambahkan -y pada 4y.

$$3y=3-4$$

Tambahkan 3 pada -4.

$$3y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam x-4y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

Darabkan -4 kali -\frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$