Selesaikan {l}{x-2y=17}{7x-6y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 17 } \\ { 7 x - 6 y = 47 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=17$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y+17$$

Gantikan 2y+17 dengan x dalam persamaan lain, 7x-6y=47.

$$7\left(2y+17\right)-6y=47$$

Darabkan 7 kali 2y+17.

$$14y+119-6y=47$$

Tambahkan 14y pada -6y.

$$8y+119=47$$

Tolak 119 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=2y+17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-9\right)+17$$

Darabkan 2 kali -9.

$$x=-18+17$$

Tambahkan 17 pada -18.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-6-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\times 47\\-\frac{7}{8}\times 17+\frac{1}{8}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Untuk menjadikan x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$7x+7\left(-2\right)y=7\times 17,7x-6y=47$$

Permudahkan.

$$7x-14y=119,7x-6y=47$$

Tolak 7x-6y=47 daripada 7x-14y=119 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x-14y+6y=119-47$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y+6y=119-47$$

Tambahkan -14y pada 6y.

$$-8y=119-47$$

Tambahkan 119 pada -47.

$$-8y=72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam 7x-6y=47. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-6\left(-9\right)=47$$

Darabkan -6 kali -9.

$$7x+54=47$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-9$$