Selesaikan {l}{x-2y=10}{2x+3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=10$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y+10$$

Gantikan 10+2y dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=-8.

$$2\left(2y+10\right)+3y=-8$$

Darabkan 2 kali 10+2y.

$$4y+20+3y=-8$$

Tambahkan 4y pada 3y.

$$7y+20=-8$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=2y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-4\right)+10$$

Darabkan 2 kali -4.

$$x=-8+10$$

Tambahkan 10 pada -8.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10+\frac{2}{7}\left(-8\right)\\-\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 10,2x+3y=-8$$

Permudahkan.

$$2x-4y=20,2x+3y=-8$$

Tolak 2x+3y=-8 daripada 2x-4y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-4y-3y=20+8$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-3y=20+8$$

Tambahkan -4y pada -3y.

$$-7y=20+8$$

Tambahkan 20 pada 8.

$$-7y=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam 2x+3y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-4\right)=-8$$

Darabkan 3 kali -4.

$$2x-12=-8$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$