Selesaikan {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=-6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y-6$$

Gantikan -6+2y dengan x dalam persamaan lain, 6x+8y=2.

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

Darabkan 6 kali -6+2y.

$$12y-36+8y=2$$

Tambahkan 12y pada 8y.

$$20y-36=2$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$20y=38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Gantikan \frac{19}{10} dengan y dalam x=2y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

Darabkan 2 kali \frac{19}{10}.

$$x=\frac{19}{5}-6$$

Tambahkan -6 pada \frac{19}{5}.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Untuk menjadikan x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

Permudahkan.

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

Tolak 6x+8y=2 daripada 6x-12y=-36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-8y=-36-2$$

Tambahkan -12y pada -8y.

$$-20y=-36-2$$

Tambahkan -36 pada -2.

$$-20y=-38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Gantikan \frac{19}{10} dengan y dalam 6x+8y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

Darabkan 8 kali \frac{19}{10}.

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

Tolak \frac{76}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-\frac{66}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$