Selesaikan {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y+3, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Gabungkan 2x dan -6x untuk mendapatkan -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Gabungkan -y dan -2y untuk mendapatkan -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$-4x-3y=2+3$$

Tambahkan 2 dan 3 untuk dapatkan 5.

$$-4x-3y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$5x+y=4x-2$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-4x=-2$$

Gabungkan 5x dan -4x untuk mendapatkan x.

$$x+y=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-4x-3y=5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-3y-5}{4} dengan x dalam persamaan lain, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Tambahkan -\frac{5}{4} pada \frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y+3, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Gabungkan 2x dan -6x untuk mendapatkan -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Gabungkan -y dan -2y untuk mendapatkan -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$-4x-3y=2+3$$

Tambahkan 2 dan 3 untuk dapatkan 5.

$$-4x-3y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$5x+y=4x-2$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-4x=-2$$

Gabungkan 5x dan -4x untuk mendapatkan x.

$$x+y=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y+3, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Gabungkan 2x dan -6x untuk mendapatkan -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Gabungkan -y dan -2y untuk mendapatkan -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$-4x-3y=2+3$$

Tambahkan 2 dan 3 untuk dapatkan 5.

$$-4x-3y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$5x+y=4x-2$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-4x=-2$$

Gabungkan 5x dan -4x untuk mendapatkan x.

$$x+y=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Untuk menjadikan -4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Tolak -4x-4y=8 daripada -4x-3y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+4y=5-8$$

Tambahkan -3y pada 4y.

$$y=5-8$$

Tambahkan 5 pada -8.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3=-2$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-3$$