Selesaikan {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y-y^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Pertimbangkan \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Kembangkan \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Tolak y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Gabungkan y^{2} dan -y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Tambahkan 2x^{2} pada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Gabungkan -2x^{2} dan 2x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Darabkan 16 dan 16 untuk mendapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan -1 dan 256 untuk dapatkan 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan 255 dan 1 untuk dapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 32y+48 dengan 3-2y dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Tambahkan 64y^{2} pada kedua-dua belah.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Gabungkan -64y^{2} dan 64y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$32x+16y+256=144$$

Tolak 256 daripada kedua-dua belah.

$$32x+16y=144-256$$

Tolak 256 daripada 144 untuk mendapatkan -112.

$$32x+16y=-112$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+3$$

Gantikan y+3 dengan x dalam persamaan lain, 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

Darabkan 32 kali y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

Tambahkan 32y pada 16y.

$$48y+96=-112$$

Tolak 96 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$48y=-208$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Gantikan -\frac{13}{3} dengan y dalam x=y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y-y^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Pertimbangkan \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Kembangkan \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Tolak y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Gabungkan y^{2} dan -y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Tambahkan 2x^{2} pada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Gabungkan -2x^{2} dan 2x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Darabkan 16 dan 16 untuk mendapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan -1 dan 256 untuk dapatkan 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan 255 dan 1 untuk dapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 32y+48 dengan 3-2y dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Tambahkan 64y^{2} pada kedua-dua belah.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Gabungkan -64y^{2} dan 64y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$32x+16y+256=144$$

Tolak 256 daripada kedua-dua belah.

$$32x+16y=144-256$$

Tolak 256 daripada 144 untuk mendapatkan -112.

$$32x+16y=-112$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y dengan 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan y-y^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Pertimbangkan \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Kembangkan \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Tolak y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Gabungkan y^{2} dan -y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Tambahkan 2x^{2} pada kedua-dua belah.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Gabungkan -2x^{2} dan 2x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x-y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Darabkan 16 dan 16 untuk mendapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan -1 dan 256 untuk dapatkan 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Tambahkan 255 dan 1 untuk dapatkan 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 32y+48 dengan 3-2y dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Tambahkan 64y^{2} pada kedua-dua belah.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Gabungkan -64y^{2} dan 64y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$32x+16y+256=144$$

Tolak 256 daripada kedua-dua belah.

$$32x+16y=144-256$$

Tolak 256 daripada 144 untuk mendapatkan -112.

$$32x+16y=-112$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Untuk menjadikan x dan 32x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 32 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Permudahkan.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Tolak 32x+16y=-112 daripada 32x-32y=96 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Tambahkan 32x pada -32x. Seubtan 32x dan -32x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-32y-16y=96+112$$

Tambahkan -32y pada -16y.

$$-48y=96+112$$

Tambahkan 96 pada 112.

$$-48y=208$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Gantikan -\frac{13}{3} dengan y dalam 32x+16y=-112. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

Darabkan 16 kali -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Tambahkan \frac{208}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 32.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$