Selesaikan {l}{x=y+3}{7x-5y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+3$$

Gantikan y+3 dengan x dalam persamaan lain, 7x-5y=19.

$$7\left(y+3\right)-5y=19$$

Darabkan 7 kali y+3.

$$7y+21-5y=19$$

Tambahkan 7y pada -5y.

$$2y+21=19$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1+3$$

Tambahkan 3 pada -1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-5-\left(-7\right)}&\frac{1}{-5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\\-\frac{7}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Untuk menjadikan x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x-5y=19$$

Permudahkan.

$$7x-7y=21,7x-5y=19$$

Tolak 7x-5y=19 daripada 7x-7y=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x-7y+5y=21-19$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-7y+5y=21-19$$

Tambahkan -7y pada 5y.

$$-2y=21-19$$

Tambahkan 21 pada -19.

$$-2y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 7x-5y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-5\left(-1\right)=19$$

Darabkan -5 kali -1.

$$7x+5=19$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$