Selesaikan {l}{x=8-3y}{2x-7y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 8 - 3 y } \\ { 2 x - 7 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$x+3y=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+3y=8,2x-7y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=8$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3y+8$$

Gantikan -3y+8 dengan x dalam persamaan lain, 2x-7y=-10.

$$2\left(-3y+8\right)-7y=-10$$

Darabkan 2 kali -3y+8.

$$-6y+16-7y=-10$$

Tambahkan -6y pada -7y.

$$-13y+16=-10$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13y=-26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-3y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times 2+8$$

Darabkan -3 kali 2.

$$x=-6+8$$

Tambahkan 8 pada -6.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$x+3y=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+3y=8,2x-7y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-3\times 2}&-\frac{3}{-7-3\times 2}\\-\frac{2}{-7-3\times 2}&\frac{1}{-7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\times 8+\frac{3}{13}\left(-10\right)\\\frac{2}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$x+3y=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+3y=8,2x-7y=-10$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\times 3y=2\times 8,2x-7y=-10$$

Permudahkan.

$$2x+6y=16,2x-7y=-10$$

Tolak 2x-7y=-10 daripada 2x+6y=16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+6y+7y=16+10$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+7y=16+10$$

Tambahkan 6y pada 7y.

$$13y=16+10$$

Tambahkan 16 pada 10.

$$13y=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-7y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-7\times 2=-10$$

Darabkan -7 kali 2.

$$2x-14=-10$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$