Selesaikan {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=4$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+4$$

Gantikan 3y+4 dengan x dalam persamaan lain, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{4}{3} dengan y dalam x=3y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Darabkan 3 kali \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Tambahkan 4 pada 4.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{2}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Untuk menjadikan x dan -\frac{x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Permudahkan.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Tolak -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} daripada -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Tambahkan -\frac{x}{2} pada \frac{x}{2}. Seubtan -\frac{x}{2} dan \frac{x}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Tambahkan -2 pada \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{4}{3} dengan y dalam -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$