Selesaikan {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-10$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=0$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y$$

Gantikan 2y dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-10.

$$-3\times 2y+y=-10$$

Darabkan -3 kali 2y.

$$-6y+y=-10$$

Tambahkan -6y pada y.

$$-5y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=2y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times 2$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-10$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-10$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

Permudahkan.

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

Tolak -3x+y=-10 daripada -3x+6y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+6y-y=10$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-y=10$$

Tambahkan 6y pada -y.

$$5y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -3x+y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+2=-10$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$