Selesaikan {l}{x=2y}{5y=3x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5y-3x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=0$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y$$

Gantikan 2y dengan x dalam persamaan lain, -3x+5y=1.

$$-3\times 2y+5y=1$$

Darabkan -3 kali 2y.

$$-6y+5y=1$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=2y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-1\right)$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5y-3x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5y-3x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

Permudahkan.

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

Tolak -3x+5y=1 daripada -3x+6y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-5y=-1$$

Tambahkan 6y pada -5y.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -3x+5y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

Darabkan 5 kali -1.

$$-3x-5=1$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$