Selesaikan {l}{x=2y+1}{x=3y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { x = 3 y - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=11$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-2y=1$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2y+1$$

Gantikan 2y+1 dengan x dalam persamaan lain, x-3y=-4.

$$2y+1-3y=-4$$

Tambahkan 2y pada -3y.

$$-y+1=-4$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=2y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times 5+1$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=10+1$$

Tambahkan 1 pada 10.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\left(-4\right)\\1-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=11,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

Tolak x-3y=-4 daripada x-2y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-2y+3y=1+4$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+3y=1+4$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y=1+4$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x-3y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3\times 5=-4$$

Darabkan -3 kali 5.

$$x-15=-4$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11,y=5$$