Selesaikan {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{4}y pada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Tolak \frac{y}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Gantikan -\frac{y}{4}+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -12.

$$x=3+5$$

Tambahkan 5 pada 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{4}y pada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=-12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan \frac{1}{4}y pada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Permudahkan.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Tolak 3x+2y=0 daripada 3x+\frac{3}{4}y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam 3x+2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Darabkan 2 kali -12.

$$3x-24=0$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-12$$