Selesaikan {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{8}{9}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Gantikan \frac{3y}{4} dengan x dalam persamaan lain, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Darabkan -\frac{8}{9} kali \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam x=\frac{3}{4}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Darabkan \frac{3}{4} kali -12.

$$x=-9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-9,y=-12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{8}{9}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-9,y=-12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{8}{9}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Untuk menjadikan x dan -\frac{8x}{9} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{8}{9} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Permudahkan.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Tolak -\frac{8}{9}x+y=-4 daripada -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Tambahkan -\frac{8x}{9} pada \frac{8x}{9}. Seubtan -\frac{8x}{9} dan \frac{8x}{9} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-12$$

Gantikan -12 dengan y dalam -\frac{8}{9}x+y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-9,y=-12$$