Selesaikan {l}{x+y=70}{x-2y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { x - 2 y = 100 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=80$$

$$y=-10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=70$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+70$$

Gantikan -y+70 dengan x dalam persamaan lain, x-2y=100.

$$-y+70-2y=100$$

Tambahkan -y pada -2y.

$$-3y+70=100$$

Tolak 70 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam x=-y+70. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-10\right)+70$$

Darabkan -1 kali -10.

$$x=10+70$$

Tambahkan 70 pada 10.

$$x=80$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=80,y=-10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 70+\frac{1}{3}\times 100\\\frac{1}{3}\times 70-\frac{1}{3}\times 100\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=80,y=-10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=70,x-2y=100$$

Tolak x-2y=100 daripada x+y=70 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+2y=70-100$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+2y=70-100$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y=70-100$$

Tambahkan 70 pada -100.

$$3y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam x-2y=100. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\left(-10\right)=100$$

Darabkan -2 kali -10.

$$x+20=100$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=80$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=80,y=-10$$