Selesaikan {l}{x+y=7}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+7$$

Gantikan -y+7 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=1.

$$3\left(-y+7\right)+y=1$$

Darabkan 3 kali -y+7.

$$-3y+21+y=1$$

Tambahkan -3y pada y.

$$-2y+21=1$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=-y+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-10+7$$

Tambahkan 7 pada -10.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\times 7-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Tolak 3x+y=1 daripada x+y=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-3x+y-y=7-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x-3x=7-1$$

Tambahkan x pada -3x.

$$-2x=7-1$$

Tambahkan 7 pada -1.

$$-2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam 3x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3\left(-3\right)+y=1$$

Darabkan 3 kali -3.

$$-9+y=1$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=10$$