Selesaikan {l}{x+y=67.56}{x-y=12.40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 67.56 } \\ { x - y = 12.40 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=39.98$$

$$y=27.58$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=67.56$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+67.56$$

Gantikan -y+67.56 dengan x dalam persamaan lain, x-y=12.4.

$$-y+67.56-y=12.4$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y+67.56=12.4$$

Tolak 67.56 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-55.16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=27.58$$

Gantikan 27.58 dengan y dalam x=-y+67.56. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-27.58+67.56$$

Tambahkan 67.56 pada -27.58 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=39.98$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=39.98,y=27.58$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 67.56+\frac{1}{2}\times 12.4\\\frac{1}{2}\times 67.56-\frac{1}{2}\times 12.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1999}{50}\\\frac{1379}{50}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1999}{50},y=\frac{1379}{50}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

Tolak x-y=12.4 daripada x+y=67.56 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=67.56-12.4$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=67.56-12.4$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=67.56-12.4$$

Tambahkan 67.56 pada -12.4 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$2y=55.16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1379}{50}$$

Gantikan \frac{1379}{50} dengan y dalam x-y=12.4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{1379}{50}=12.4$$

Darabkan -1 kali \frac{1379}{50}.

$$x-27.58=12.4$$

Tambahkan 27.58 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=39.98$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=39.98,y=\frac{1379}{50}$$