Selesaikan {l}{x+y=6}{2x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+6$$

Gantikan -y+6 dengan x dalam persamaan lain, 2x-2y=4.

$$2\left(-y+6\right)-2y=4$$

Darabkan 2 kali -y+6.

$$-2y+12-2y=4$$

Tambahkan -2y pada -2y.

$$-4y+12=4$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2+6$$

Tambahkan 6 pada -2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 6,2x-2y=4$$

Permudahkan.

$$2x+2y=12,2x-2y=4$$

Tolak 2x-2y=4 daripada 2x+2y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y+2y=12-4$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+2y=12-4$$

Tambahkan 2y pada 2y.

$$4y=12-4$$

Tambahkan 12 pada -4.

$$4y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-2y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-2\times 2=4$$

Darabkan -2 kali 2.

$$2x-4=4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$