Selesaikan {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=45$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+45$$

Gantikan -y+45 dengan x dalam persamaan lain, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

Darabkan 18 kali -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Tambahkan -18y pada 120y.

$$102y+810=6000$$

Tolak 810 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$102y=5190$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Gantikan \frac{865}{17} dengan y dalam x=-y+45. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Tambahkan 45 pada -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Untuk menjadikan x dan 18x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 18 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Permudahkan.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Tolak 18x+120y=6000 daripada 18x+18y=810 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-120y=810-6000$$

Tambahkan 18y pada -120y.

$$-102y=810-6000$$

Tambahkan 810 pada -6000.

$$-102y=-5190$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Gantikan \frac{865}{17} dengan y dalam 18x+120y=6000. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

Darabkan 120 kali \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Tolak \frac{103800}{17} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$