Selesaikan {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=35$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{7}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=40$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+40$$

Gantikan -y+40 dengan x dalam persamaan lain, x-\frac{1}{7}y=0.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

Tambahkan -y pada -\frac{y}{7}.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=35$$

Gantikan 35 dengan y dalam x=-y+40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-35+40$$

Tambahkan 40 pada -35.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=35$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{7}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=35$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{7}y daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Tolak x-\frac{1}{7}y=0 daripada x+y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

Tambahkan y pada \frac{y}{7}.

$$\frac{8}{7}y=40$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=35$$

Gantikan 35 dengan y dalam x-\frac{1}{7}y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali 35.

$$x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=35$$