Selesaikan {l}{x+y=4}{3x-3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 3 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+4$$

Gantikan -y+4 dengan x dalam persamaan lain, 3x-3y=12.

$$3\left(-y+4\right)-3y=12$$

Darabkan 3 kali -y+4.

$$-3y+12-3y=12$$

Tambahkan -3y pada -3y.

$$-6y+12=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{1}{-3-3}\\-\frac{3}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 12\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3y=3\times 4,3x-3y=12$$

Permudahkan.

$$3x+3y=12,3x-3y=12$$

Tolak 3x-3y=12 daripada 3x+3y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+3y+3y=12-12$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+3y=12-12$$

Tambahkan 3y pada 3y.

$$6y=12-12$$

Tambahkan 12 pada -12.

$$6y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 3x-3y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$