Selesaikan {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 7y, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,y.

$$5y=7x$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$5y-7x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=36$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+36$$

Gantikan -y+36 dengan x dalam persamaan lain, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

Darabkan -7 kali -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Tambahkan 7y pada 5y.

$$12y-252=0$$

Tambahkan 252 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12y=252$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=21$$

Gantikan 21 dengan y dalam x=-y+36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-21+36$$

Tambahkan 36 pada -21.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=21$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 7y, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,y.

$$5y=7x$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$5y-7x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=15,y=21$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 7y, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,y.

$$5y=7x$$

Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$5y-7x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Untuk menjadikan x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Permudahkan.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

Tolak -7x+5y=0 daripada -7x-7y=-252 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Tambahkan -7x pada 7x. Seubtan -7x dan 7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-7y-5y=-252$$

Tambahkan -7y pada -5y.

$$-12y=-252$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$y=21$$

Gantikan 21 dengan y dalam -7x+5y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x+5\times 21=0$$

Darabkan 5 kali 21.

$$-7x+105=0$$

Tolak 105 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-105$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=21$$