Selesaikan {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=18$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=30$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+30$$

Gantikan -y+30 dengan x dalam persamaan lain, 20x+25y=690.

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

Darabkan 20 kali -y+30.

$$-20y+600+25y=690$$

Tambahkan -20y pada 25y.

$$5y+600=690$$

Tolak 600 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=18$$

Gantikan 18 dengan y dalam x=-y+30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-18+30$$

Tambahkan 30 pada -18.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=18$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=18$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Untuk menjadikan x dan 20x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 20 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

Permudahkan.

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

Tolak 20x+25y=690 daripada 20x+20y=600 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-25y=600-690$$

Tambahkan 20y pada -25y.

$$-5y=600-690$$

Tambahkan 600 pada -690.

$$-5y=-90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=18$$

Gantikan 18 dengan y dalam 20x+25y=690. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$20x+25\times 18=690$$

Darabkan 25 kali 18.

$$20x+450=690$$

Tolak 450 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20x=240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=18$$