Selesaikan {l}{x+y=3}{y-x=3/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { y - x = \frac { 3 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} = 1.875$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=3,-x+y=\frac{3}{4}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=3$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+3$$

Gantikan -y+3 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=\frac{3}{4}.

$$-\left(-y+3\right)+y=\frac{3}{4}$$

Darabkan -1 kali -y+3.

$$y-3+y=\frac{3}{4}$$

Tambahkan y pada y.

$$2y-3=\frac{3}{4}$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{15}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{15}{8}$$

Gantikan \frac{15}{8} dengan y dalam x=-y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{15}{8}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{15}{8}.

$$x=\frac{9}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{15}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=3,-x+y=\frac{3}{4}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{15}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{15}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=3,-x+y=\frac{3}{4}$$

Tolak -x+y=\frac{3}{4} daripada x+y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+x+y-y=3-\frac{3}{4}$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+x=3-\frac{3}{4}$$

Tambahkan x pada x.

$$2x=3-\frac{3}{4}$$

Tambahkan 3 pada -\frac{3}{4}.

$$2x=\frac{9}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{9}{8}$$

Gantikan \frac{9}{8} dengan x dalam -x+y=\frac{3}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-\frac{9}{8}+y=\frac{3}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{15}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{15}{8}$$