Selesaikan {l}{x+y=3}{ax+5y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { a x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

$$y=-\frac{4-3a}{a-5}$$

$$a\neq 5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=3$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+3$$

Gantikan -y+3 dengan x dalam persamaan lain, ax+5y=4.

$$a\left(-y+3\right)+5y=4$$

Darabkan a kali -y+3.

$$\left(-a\right)y+3a+5y=4$$

Tambahkan -ay pada 5y.

$$\left(5-a\right)y+3a=4$$

Tolak 3a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(5-a\right)y=4-3a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -a+5.

$$y=\frac{4-3a}{5-a}$$

Gantikan \frac{4-3a}{-a+5} dengan y dalam x=-y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4-3a}{5-a}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{4-3a}{-a+5}.

$$x=\frac{11}{5-a}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{5-a},y=\frac{4-3a}{5-a}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}&-\frac{1}{5-a}\\-\frac{a}{5-a}&\frac{1}{5-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}\times 3+\left(-\frac{1}{5-a}\right)\times 4\\\left(-\frac{a}{5-a}\right)\times 3+\frac{1}{5-a}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5-a}\\-\frac{3a-4}{5-a}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{5-a},y=-\frac{3a-4}{5-a}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Untuk menjadikan x dan ax sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan a dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$ax+ay=a\times 3,ax+5y=4$$

Permudahkan.

$$ax+ay=3a,ax+5y=4$$

Tolak ax+5y=4 daripada ax+ay=3a dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$ax+\left(-a\right)x+ay-5y=3a-4$$

Tambahkan ax pada -ax. Seubtan ax dan -ax saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$ay-5y=3a-4$$

Tambahkan ay pada -5y.

$$\left(a-5\right)y=3a-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a-5.

$$y=\frac{3a-4}{a-5}$$

Gantikan \frac{3a-4}{a-5} dengan y dalam ax+5y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$ax+5\times \frac{3a-4}{a-5}=4$$

Darabkan 5 kali \frac{3a-4}{a-5}.

$$ax+\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}=4$$

Tolak \frac{5\left(3a-4\right)}{a-5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=-\frac{11a}{a-5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{a-5},y=\frac{3a-4}{a-5}$$