Selesaikan {l}{x+y=27}{y=x-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { y = x - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=18$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+27$$

Gantikan -y+27 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=-9.

$$-\left(-y+27\right)+y=-9$$

Darabkan -1 kali -y+27.

$$y-27+y=-9$$

Tambahkan y pada y.

$$2y-27=-9$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam x=-y+27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-9+27$$

Tambahkan 27 pada -9.

$$x=18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=18,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=18,y=9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

Tolak -x+y=-9 daripada x+y=27 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+x+y-y=27+9$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+x=27+9$$

Tambahkan x pada x.

$$2x=27+9$$

Tambahkan 27 pada 9.

$$2x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=18$$

Gantikan 18 dengan x dalam -x+y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-18+y=-9$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=18,y=9$$