Selesaikan {l}{x+y=25}{y-2x=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 25 } \\ { y - 2 x = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=25,-2x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=25$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+25$$

Gantikan -y+25 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=0.

$$-2\left(-y+25\right)+y=0$$

Darabkan -2 kali -y+25.

$$2y-50+y=0$$

Tambahkan 2y pada y.

$$3y-50=0$$

Tambahkan 50 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{50}{3}$$

Gantikan \frac{50}{3} dengan y dalam x=-y+25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{50}{3}+25$$

Tambahkan 25 pada -\frac{50}{3}.

$$x=\frac{25}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{3},y=\frac{50}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=25,-2x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 25\\\frac{2}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{3}\\\frac{50}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{3},y=\frac{50}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=25,-2x+y=0$$

Tolak -2x+y=0 daripada x+y=25 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+2x+y-y=25$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+2x=25$$

Tambahkan x pada 2x.

$$3x=25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{25}{3}$$

Gantikan \frac{25}{3} dengan x dalam -2x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2\times \frac{25}{3}+y=0$$

Darabkan -2 kali \frac{25}{3}.

$$-\frac{50}{3}+y=0$$

Tambahkan \frac{50}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{50}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{3},y=\frac{50}{3}$$