Selesaikan {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{3}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=204$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+204$$

Gantikan -y+204 dengan x dalam persamaan lain, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Tambahkan 153 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=108$$

Gantikan 108 dengan y dalam x=-y+204. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-108+204$$

Tambahkan 204 pada -108.

$$x=96$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=96,y=108$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{3}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=96,y=108$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{3}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Untuk menjadikan x dan -\frac{3x}{4} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{3}{4} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Permudahkan.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Tolak -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 daripada -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Tambahkan -\frac{3x}{4} pada \frac{3x}{4}. Seubtan -\frac{3x}{4} dan \frac{3x}{4} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=108$$

Gantikan 108 dengan y dalam -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=96$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=96,y=108$$