Selesaikan {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=7y$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$x-7y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=140$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+140$$

Gantikan -y+140 dengan x dalam persamaan lain, x-7y=0.

$$-y+140-7y=0$$

Tambahkan -y pada -7y.

$$-8y+140=0$$

Tolak 140 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8y=-140$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{35}{2}$$

Gantikan \frac{35}{2} dengan y dalam x=-y+140. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

Tambahkan 140 pada -\frac{35}{2}.

$$x=\frac{245}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=7y$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$x-7y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan y.

$$x=7y$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$x-7y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Tolak x-7y=0 daripada x+y=140 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+7y=140$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+7y=140$$

Tambahkan y pada 7y.

$$8y=140$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=\frac{35}{2}$$

Gantikan \frac{35}{2} dengan y dalam x-7y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

Darabkan -7 kali \frac{35}{2}.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

Tambahkan \frac{245}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{245}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$