Selesaikan {l}{x+y=14}{2x+4y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=14$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+14$$

Gantikan -y+14 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=38.

$$2\left(-y+14\right)+4y=38$$

Darabkan 2 kali -y+14.

$$-2y+28+4y=38$$

Tambahkan -2y pada 4y.

$$2y+28=38$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-y+14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5+14$$

Tambahkan 14 pada -5.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{1}{2}\times 38\\-14+\frac{1}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 14,2x+4y=38$$

Permudahkan.

$$2x+2y=28,2x+4y=38$$

Tolak 2x+4y=38 daripada 2x+2y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y-4y=28-38$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-4y=28-38$$

Tambahkan 2y pada -4y.

$$-2y=28-38$$

Tambahkan 28 pada -38.

$$-2y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 2x+4y=38. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times 5=38$$

Darabkan 4 kali 5.

$$2x+20=38$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$