Selesaikan {l}{x+y=11}{2x-3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 11 } \\ { 2 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=11$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+11$$

Gantikan -y+11 dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=-8.

$$2\left(-y+11\right)-3y=-8$$

Darabkan 2 kali -y+11.

$$-2y+22-3y=-8$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y+22=-8$$

Tolak 22 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-y+11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-6+11$$

Tambahkan 11 pada -6.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 11+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\times 11-\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 11,2x-3y=-8$$

Permudahkan.

$$2x+2y=22,2x-3y=-8$$

Tolak 2x-3y=-8 daripada 2x+2y=22 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y+3y=22+8$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+3y=22+8$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y=22+8$$

Tambahkan 22 pada 8.

$$5y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 2x-3y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\times 6=-8$$

Darabkan -3 kali 6.

$$2x-18=-8$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=6$$