Selesaikan {l}{x+y=-1}{x-y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { x - y = - 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=-1,x-y=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y-1$$

Gantikan -y-1 dengan x dalam persamaan lain, x-y=-7.

$$-y-1-y=-7$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y-1=-7$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3-1$$

Tambahkan -1 pada -3.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=-1,x-y=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=-1,x-y=-7$$

Tolak x-y=-7 daripada x+y=-1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=-1+7$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=-1+7$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=-1+7$$

Tambahkan -1 pada 7.

$$2y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x-y=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3=-7$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=3$$